上一次接触微积分还是在大一的高数课上,自从学完高数以后,就再没接触过微积分,想想已经时隔5年,现在已经连微积分如何计算都忘掉了.故而有此文章,回顾一下微积分的基本原理和用法.

微分的几何意义


是曲线 上的点 在横坐标上的增量, 是曲线在点 对应 在纵坐标上的增量, 是曲线在点 的切线对应 在纵坐标上的增量。当 很小时, 要小得多(高阶无穷小),因此在点 附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。。

微分与导数之间的关系

微分和导数是两个不同的概念。但是,对一元函数来说,可微与可导是完全等价的概念[1]:141。可微的函数,其微分等于导数乘以自变量的微分 ,换句话说,函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。于是函数 的微分又可记作

微分计算实例

方程式为 ,那么的微分:

导数为函数的微分与自变量的微分之商:

积分的几何意义

积分的几何意义,看下面这幅图:

我们要求曲线和坐标轴围成的面积S.可以用很多长方形来填充这块面积.当长方形越多的时候,误差越小,当长方形趋近无限多的时候就是面积S.

积分的计算

定理一:

设有在闭区间[a, b]上连续的可积函数 。考虑积分上限函数 ,则 F在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b) 上可导,并且对开区间(a, b) 中任意的 有:

定理二:

设有在闭区间[a, b]上连续的可积函数 。考虑它的一个原函数 ,即:


则 f在区间[a, b]上的定积分满足:

微分与积分之间的关系

从基本定理可以看出微分和积分运算之间的互逆关系.

posted @ 2018-07-09 09:10:37
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